Équipe ASSNL : Approximation et stabilité des systèmes non linéaires (responsable : Abdelhak CHIKHAOUI)
Dérivation optimale
Etude de la stabilité à l'aide de la dérivé optimale
Approximation des systèmes non linéaires
Coopération : Université Béchar, I.R.D- Bondy (France), Université Bordeaux II
On s’est aperçu depuis longtemps que la plupart des phénomènes de la physique mathématique sont non linéaires, les cas, parmi les plus célèbres étant l’équation de Boltzmann en mécanique statique, les équations de Navier Stokes en mécanique des fluides (équations qui constituent d’ailleurs une approximation de l’équation de Boltzmann), les équations de Von karman des plaques planes en grands déplacements, etc...
Toutefois, avant la possibilité d’utiliser de façon systématique -et quasiment « banale »- les ordinateurs pour calculer des solutions approchées de l’état du système, des résultats précis ne pouvaient généralement être obtenus que dans les cas linéaires.
Certains problèmes physiques peuvent être directement modélisés (i.e. sans approximation) par des équations linéaires : c’est le cas de l’équation de transport des neutrons notamment.
D’autres phénomènes peuvent entre déduits des « vrais » systèmes non linéaires soit en négligeant certains termes (ce qui est valide dans certaines situations : « petits » déplacements, mouvements, mouvements « lents ».)
Notre équipe propose une méthode qui a donnée ses preuves à travers un grand nombre de résultats (thèses de Doctorat, Magisters, Publications…..).
Notre objectif est d’utiliser la dérivation optimale développée par Arino,Benouaz (1995-1996-2001) et complétée par Bohner, Benouaz (2007-2009-2011) pour l’approximation et l’étude de la stabilité de certaines classes de fonction, non linéaires en vue de tester cette méthode et de mettre en évidence ses possibilités.
Objectifs :
Validation de la méthode à travers :
Publications internationales.
Thèses de doctorat : celles-ci seront orientées vers plusieurs modèles Énergétiques non linéaires.
Mettre en place un logiciel convivial permettant de vulgariser la méthode.
Un exemple d’application de cette méthode pour la détection des bifurcations est présenté comme suit :
Il présente une comparaison avec le logiciel de continuation Auto 2000.
Diagramme de bifurcation obtenu en utilisant le code de simulation Auto 2000
Diagramme de bifurcation représentant la variation de la norm L2 en fonction du paramètre a(gain) : trait plein solution stable, en pointillé solution instable, PB bifurcation fourche, HB: bifurcation de Hopf, PD: Bifurcation à dédoublement de période. Les informations issues de l’analyse qualitative menée en utilisant la dérivation optimale appliquée aux points de bifurcation sont encerclées indiquées par des flèches rouge sur le diagramme.
Les différents types de points et symboles rencontrés sur le diagramme de bifurcation pendant l’exécution du logiciel Auto2000 sont définit selon les paramètres :
TY: Abréviation du nom du type de la solution
TY: Numéro de la solution
BR: Nombre de branches
PT: Nombre de points
LAB: Etiquette de la solution
LAB TY signification
BP 1 point de bifurcation
HB 3 bifurcation de Hopf
PD 7 Bifurcation à dédoublement de période
EP 9 Début et fin d’exécution normale
PAR(1) est le paramètre de continuation, ici U(1) U(2),et U(3)sont x,y,z.
PLUS D’INFORMATIONS :VOIR THESE DOCTORAT ET HABILITATION DE Dr CHIKHAOUI A..